Công thức leibniz tính đạo hàm cấp cao

Công thức tổng quát : $f^displaystyle (n)(x)=left< f^displaystyle (n-1)(x) ight>^prime$Phương thơm pháp :+ Tính đạo hàm cấp $1,2,3,cdots$ từ bỏ kia suy ra cách làm tổng thể của đạo hàm cung cấp $n$.+ Dùng cách thức quy nạp tân oán học nhằm minh chứng phương pháp tổng thể tren đúng.lấy ví dụ như $1.$ Tính đạo hàm cung cấp $n$ của hàm số $y = cos x$.Lời giải :Ta bao gồm : $y"=-sin x=cos left ( x+fracpi2 ight )$ $y""=(-sin x)"=-cos x=cos (x+pi)$ $y"""=sin x=cos left ( x+frac3pi2 ight )$ $cdots$Dự đân oán : $y^displaystyle (n)=cos left ( x+fracnpi2 ight )$ với $n in mathbbN$. Chứng minh cách làm đúng bởi quy nạp :Với $n=1 : y"=cos left ( x+fracpi2 ight )=-sin xRightarrow $ bí quyết đúng cùng với $n=1$.Giả sử bí quyết đúng cùng với $n=k : y^displaystyle (k)=cos left ( x+frackpi2 ight )$Ta đã chứng tỏ bí quyết đúng cùng với $n=k+1$nghĩa là $y^displaystyle (k+1)=cos left ( x+frac(k+1)pi2 ight )$Thật vậy, áp dụng cách làm tính đạo hàm cung cấp $n$ ta được :$y^displaystyle (k+1)(x)=left< y^displaystyle (k)(x) ight>^prime=left< cos left ( x+frackpi2 ight ) ight>^prime=-sin left ( x+frackpi2 ight )=cos left ( x+frac(k+1)pi2 ight )$.Vậy $y^displaystyle (k+1)=cos left ( x+frac(k+1)pi2 ight )$ luôn đúng.Do kia : $y^displaystyle (n)=cos left ( x+fracnpi2 ight )$ cùng với $n in mathbbN$. ví dụ như $2.$ Tính đạo hàm cấp cho $n$ của hàm số $y = frac1x+1$.Lời giải :Ta có : $y"=-frac1(x+1)^2=-(x+1)^-2$ $y""=2(x+1)^-3$ $y"""=-2.3(x+1)^-4$ $cdots$Dự đoán : $y^displaystyle (n)=(-1)^n.n!.(x+1)^-(n+1)=displaystyle frac(-1)^n.n!(x+1)^n+1$ với $n in mathbbN$. Chứng minch phương pháp đúng bằng quy nạp :Với $n=1 : y"=-frac1(x+1)^2=-(x+1)^-2 Rightarrow $ công thức đúng với $n=1$.Giả sử công thức đúng cùng với $n=k : y^displaystyle (k)=(-1)^k.k!.(x+1)^-(k+1)=displaystyle frac(-1)^k.k!(x+1)^k+1$Ta đang chứng minh cách làm đúng cùng với $n=k+1$nghĩa là $ y^displaystyle (k+1)=(-1)^k+1.(k+1)!.(x+1)^-(k+2)=displaystyle frac(-1)^k+1.(k+1)!(x+1)^k+2$Thật vậy, vận dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :$y^displaystyle (k+1)(x)=left< y^displaystyle (k)(x) ight>^prime=left< (-1)^k.k!.(x+1)^-(k+1) ight>^prime=-(-1)^k.k!(k+1)(x+1)^-(k+1)-1$ $=(-1)^k+1.(k+1)!.(x+1)^-(k+2)=displaystyle frac(-1)^k+1.(k+1)!(x+1)^k+2$.Vậy $ y^displaystyle (k+1)=(-1)^k+1.(k+1)!.(x+1)^-(k+2)=displaystyle frac(-1)^k+1.(k+1)!(x+1)^k+2$ luôn đúng.Do kia : $y^displaystyle (n)=(-1)^n.n!.(x+1)^-(n+1)=displaystyle frac(-1)^n.n!(x+1)^n+1$ cùng với $n in mathbbN$. lấy một ví dụ $3.$ Tính đạo hàm cung cấp $n$ của hàm số $y = frac2x+1x^2-4x+3$.Lời giải :Phân tích : $y = frac2x+1x^2-4x+3=fracax-1+fracbx-3$. $Leftrightarrow 2x+1=(a+b)x-3a-b$Cân bằng thông số nhị vế ta được : $Leftrightarrow egincasesa+b=2 \ -3a-b=1 endcasesLeftrightarrow egincasesa=-frac32 \ b=frac72 endcases$ $Rightarrow y = frac2x+1x^2-4x+3=-frac32.frac1x-1+frac72.fracbx-3$Đặt $y_1=frac1x-1$ cùng $y_2=frac1x-3$.Tính đạo hàm cấp cho $n$ của hàm số $y_1$. Ta gồm : $y"_1=-frac1(x-1)^2=-(x-1)^-2$ $y""_1=2(x-1)^-3$ $y"""_1=-2.3(x-1)^-4$ $cdots$Dự đoán : $y_1^displaystyle (n)=(-1)^n.n!.(x-1)^-(n+1)=displaystyle frac(-1)^n.n!(x-1)^n+1$ với $n in mathbbN$.


Bạn đang xem: Công thức leibniz tính đạo hàm cấp cao


Xem thêm: Tải Mẫu Cv Xin Việc Kế Toán Tổng Hợp Thiết Kế Đẹp, Chuyên Nghiệp Nhất



Xem thêm: " Son 3Ce Kem Chính Hãng " Giá Tốt Tháng 3, Son 3Ce Chã­Nh Hã£Ng Hã N QuốC Mua Á»ž ĐâU

Chứng minch bí quyết đúng bằng quy nạp :Với $n=1 : y"_1=-frac1(x-1)^2=-(x-1)^-2 Rightarrow $ phương pháp đúng cùng với $n=1$.Giả sử cách làm đúng cùng với $n=k : y_1^displaystyle (k)=(-1)^k.k!.(x-1)^-(k+1)=displaystyle frac(-1)^k.k!(x-1)^k+1$Ta vẫn minh chứng phương pháp đúng cùng với $n=k+1$tức thị $ y_1^displaystyle (k+1)=(-1)^k+1.(k+1)!.(x-1)^-(k+2)=displaystyle frac(-1)^k+1.(k+1)!(x-1)^k+2$Thật vậy, áp dụng phương pháp tính đạo hàm cấp cho $n$ ta được :$y_1^displaystyle (k+1)(x)=left< y_1^displaystyle (k)(x) ight>^prime=left< (-1)^k.k!.(x-1)^-(k+1) ight>^prime=-(-1)^k.k!(k+1)(x-1)^-(k+1)-1$ $=(-1)^k+1.(k+1)!.(x-1)^-(k+2)=displaystyle frac(-1)^k+1.(k+1)!(x-1)^k+2$.Vậy $ y_1^displaystyle (k+1)=(-1)^k+1.(k+1)!.(x-1)^-(k+2)=displaystyle frac(-1)^k+1.(k+1)!(x-1)^k+2$ luôn đúng.Do đó : $y_1^displaystyle (n)=(-1)^n.n!.(x-1)^-(n+1)=displaystyle frac(-1)^n.n!(x-1)^n+1$ cùng với $n in mathbbN$. Tính tương tự như trên ta cũng được :$y_2^displaystyle (n)=(-1)^n.n!.(x-3)^-(n+1)=displaystyle frac(-1)^n.n!(x-3)^n+1$Vậy $y^displaystyle (n)=-frac32.y_1^displaystyle (n)+frac72.y_2^displaystyle (n)$$y^displaystyle (n)=(-1)^n.n!.left< -frac32. frac1(x-1)^n+1+frac72. frac1(x-3)^n+1 ight>$Bài tập trường đoản cú giải :$1.$ Tính đạo hàm cấp cho $n$ của những hàm số sau :a. $y=sin x$b. $y=frac12-x$c. $y=e^x+e^-x$d. $y=lg x$$2.$ Chứng minh rằng hàm số $y=e^-x^2$ vừa lòng hệ thức :$y^displaystyle (n)+2xy^displaystyle (n-1)+2(n-1)y^displaystyle (n-2)=0$

Chuyên mục: Hỏi Đáp